A proposito di democrazia e votazioni

E' convinzione diffusa che il modo migliore per decidere in democrazia sia il voto a maggioranza, ma in realtà non è così. Se il compito del voto è quello di permettere alla maggioranza dei votanti di esprimere la loro preferenza ed ottenere così il risultato preferito, il voto a maggioranza non è il metodo perfetto. Esso può avere una validità se le opzioni tra cui scegliere sono due, ma in ogni caso in cui le opzioni siano maggiori si può cadere in una contraddizione ben nota. Facciamo un esempio occorre scegliere il capoclasse, si procede a votazione tra tre candidati (Paolo, Giuseppe e Liliana). Allo spoglio Paolo ottiene 8 voti, Giuseppe 7 voti e Liliana 6. Pertanto si proclama vincitore Paolo. Ma se chiediamo agli elettori di graduare le loro preferenze tra i tre candidati si verifica la seguente situazione

8 elettori esprimono la seguente valutazione Paolo>Lilana>Giuseppe

7 elettori Giuseppe>Liliana>Paolo

6 elettori Liliana>Giuseppe>Paolo

Come si può vedere ben 13 elettori collocano all'ultimo posto Paolo e preferiscono Liliana a lui, eppure viene eletto Paolo.

Si può ritenere che la volontà della maggioranza sia stata rispettata?

Si può ritenere che se però Paolo avesse ottenuto almeno 11 voti, il 50% più 1 dei voti avrebbe vinto qualsiasi sia l'ordine di graduatoria espressa, eppure non è così.

Il calcolo è stato effettuato da Jean-Charles de Borda, matematico francese nato nel 1733, che ha proposto un metodo alternativo di votazione (da wikipedia) “Si sceglie un numero n inferiore o uguale al numero dei candidati. Ogni elettore costruisce allora una lista di n candidati in ordine di preferenza. Al primo della lista si attribuiscono n punti, al secondo n - 1 punti, e così di seguito, fino all'n-esimo della lista che si vedrà attribuire 1 punto. Il risultato di un candidato è la somma di tutti i punti che gli sono stati attribuiti. Il candidato, o i candidati, i cui punteggi sono i più elevati vincono le elezioni.”

Nel nostro esempio con n=3 (numero dei candidati) e 21 votanti.

Paolo =24+7+6=37

Liliana=16+14+18=48

Giuseppe=8+21+12=41

Come si vede in questo caso Liliana è eletta ed addirittura Paolo è ultimo.

Vediamo cosa accadrebbe se Paolo avesse avuto 11 voti, Giuseppe 6 voti e Liliana 5 voti. In questo caso Paolo avrebbe la maggioranza assoluta dei votanti. Andiamo alle preferenze

11 elettori esprimono la seguente valutazione Paolo>Liliana>Giuseppe

6 elettori Giuseppe>Liliana>Paolo

5 elettori Liliana>Giuseppe>Paolo

Calcoliamo con il sistema Borda

Paolo=33+6++5=44

Giuseppe=11+18+10=39

Liliana=22+12+10=44

Persino qui, con una maggioranza assoluta e Liliana ultima, Paolo pareggia con il sistema Borda.

In quale caso e con quale percentuale Paolo vincerebbe sia con il sistema a maggioranza che con il sistema Borda?

Solo se il numero di persone che mettono Paolo al primo posto è superiore a 1-1/n, ovvero in percentuale solo se, con tre candidati, il 66% degli elettori ponessero Paolo al primo posto potrebbe sicuramente vincere sia con la maggioranza che con il sistema Borda..

Naturalmente il numero di elettori e candidati non è ininfluente, ma il ragionamento è valido con n>2 e elettori>candidati.

E questo non è il solo paradosso, solo il più semplice.